什么是标准二次型

标准二次型是指将一个二次型通过线性变换（即矩阵乘法）转化为只含有变量平方项的二次型，形式为 \\（ x_1^2 + x_2^2 + \\dots + x_n^2 \\），其中 \\（ n \\） 是变量的个数。这种形式的二次型在数学中具有重要意义，因为它有助于研究二次型的性质，例如判别式、正定性、负定性和不定性等。

二次型的标准形与矩阵特征值有关，任意的 \\（ n \\） 元二次型都可以通过坐标变换化为标准形，即存在一个可逆矩阵 \\（ C \\），使得 \\（ x = Cy \\） 使得 \\（ y^T A y \\） 为标准形，其中 \\（ A \\） 是二次型矩阵，\\（ y \\） 是新的变量向量，\\（ y^T \\） 表示 \\（ y \\） 的转置。特别地，存在正交变换 \\（ x = Cy \\） 使得 \\（ y^T A y \\） 为标准形，这里 \\（ \\lambda_1, \\lambda_2, \\dots, \\lambda_n \\） 是二次型矩阵的 \\（ n \\） 个特征值。

需要注意的是，如果二次型矩阵中只含有变量的平方项，所有混合项的系数全是零，即 \\（ A \\） 是对角矩阵，其中对角线上的元素是 \\（ A \\） 的特征值，这样的二次型称为标准形。

其他小伙伴的相似问题：

标准二次型如何求解？

二次型化为标准型的坐标变换是怎样的？

如何判断一个二次型是否已经是标准形？